domingo, 30 de junho de 2013

Fatoração

FATORAÇÃO
A fatoração é a transformação da soma e/ou subtração de vários termos em um produto de diversos fatores.
Os métodos de fatoração de expressões algébricas são:
  • Fator comum (coloca-se o fator comum em evidência);
  • Agrupamento de fatores comuns;
  • Trinômio Quadrado Perfeito;
  • Trinômio: x²-Sx+P = 0;
  • Diferença de dois quadrados (x²-y²);

DIFERENÇA DE DOIS QUADRADOS

A fatoração pela diferença de dois quadrados só poderá ser usada quando:

- Tivermos uma expressão algébrica com dois monômios (sejam binômios).
- Os dois monômios sejam quadrados.
- A operação entre eles for de subtração.

Veja alguns exemplos de expressões algébricas que seguem esse modelo:

• a2 - 1, a expressão algébrica tem apenas dois monômios, os dois estão ao quadrado e entre eles há uma operação de subtração.
• 1 – a2
   3
• 4x2 – y2 

►Como escrever a forma fatorada dessas expressões algébricas. 

Dada a expressão algébrica 16x
2 – 25, veja os passos que devemos tomar para chegarmos a forma fatorada. 

 
       
A forma fatorada será ( 4x – 5 ) ( 4x + 5 )


Exemplo 1: 
A expressão algébrica x
2 – 64 é uma expressão com dois monômios e as raízes quadradas são respectivamente x e 8, então a sua forma fatorada é (x – 8) (x + 8). 


Exemplo 2: 
Dada a expressão algébrica 25x
2 – 81, a raiz dos termos 25x2 e 81 é respectivamente 5x e 9. Então, a forma fatorada é (5x – 9) (5x + 9). 

Exemplo 3: 
Dada a expressão algébrica 4x
2 – 81y2, a raiz dos termos 4x2 e 81y2 é respectivamente 2x e 9y. Então, a forma fatorada é (2x – 9y) (2x + 9y).



TRINÔMIO QUADRADO PERFEITO

O que é trinômio

Trinômio é um polinômio que tem três monômios sem termos semelhantes, veja exemplos:

3x2 + 2x + 1

20x
3 + 5x – 2x2
Como identificar um trinômio do quadrado perfeito

Para que um trinômio seja quadrado perfeito ele deve ter algumas características:

• Dois termos (monômios) do trinômio devem ser quadrados.
• Um termo (monômio) do trinômio deve ser o dobro das raízes quadradas dos dois outros termos.

Veja um exemplo:
Veja se o trinômio 16x2 + 8x + 1 é um quadrado perfeito, para isso siga as regras acima:



Dois membros do trinômio têm raízes quadradas e o dobro delas é o termo do meio, então o trinômio 16x+ 8x + 1 é quadrado perfeito.

Então, a forma fatorada do trinômio é 
16x2 + 8x + 1 é (4x + 1)2, pois é a soma das raízes ao quadrado.

Veja alguns exemplos:

Exemplo 1:

Dado o trinômio m2 – m n + n2 , devemos tirar as raízes dos termos m2 e n2 , as raízes serão m e n, o dobro dessas raízes será 2. m . n que é diferente do termo m n (termos do meio), então esse trinômio não é quadrado perfeito.

Exemplo 2:

Dado o trinômio 4x– 8xy + y2, devemos tirar as raízes dos termos 4x2 e y2 , as raízes serão respectivamente 2x e y. O dobro dessas raízes deve ser 2 . 2x . y = 4xy, que é diferente do termo 8xy, então esse trinômio não poderá ser fatorado utilizando o quadrado perfeito.

Exemplo 3:

Dado o trinômio 1 + 9a2 – 6a.
Devemos, antes de usar as regras do quadrado perfeito, colocar o trinômio em ordem crescente de expoentes, ficando assim:
9a2 – 6a + 1.
Agora, tiramos a raiz dos termos 9a2 e 1, que serão respectivamente 3a e 1. O dobro dessas raízes será 2 . 3a . 1 = 6a, que é igual ao termo do meio (6a), então concluímos que o trinômio é quadrado perfeito e a forma fatorada dele é (3a – 1)2.

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